Question

定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足條件：①[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＞0（x₁，x₂∈R⁺，x₁≠x₂）；②f（x）+f（-x）=0（x∈R）；③f（-3）=0．則不等式x•f（x）＜0的解集是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件判斷出函數(shù)為奇函數(shù)，且在（0，+∞）和（-∞，0）上為增函數(shù)，根據(jù)不等式，分x＞0，和x＜0討論即可．

解答： 解：∵f（x）+f（-x）=0（x∈R）；
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∵[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＞0（x₁，x₂∈R⁺，x₁≠x₂）；
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）也為增函數(shù)，
∵f（-3）=0．
∴f（3）=0，
當(dāng)x＞0時(shí)，
∵x•f（x）＜0，
∴f（x）＜0
∴0＜x＜3，
當(dāng)x＜0時(shí)，
∵x•f（x）＜0，
∴f（x）＞0，
∴x＜-3
故原不等式的解集為（-∞，-3）∪（0，3），
故答案為：（-∞，-3）∪（0，3）

點(diǎn)評：本題主要考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，需要分類討論，屬于中檔題．