Question

給定拋物線(xiàn)C：y²=4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l與C相交于A、B兩點(diǎn)．設(shè)l的斜率為1，則與夾角為    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)拋物線(xiàn)方程求得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線(xiàn)l的方程，代入拋物線(xiàn)方程消去x，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理求得y₁+y₂和y₁y₂的值，進(jìn)而直線(xiàn)方程求得x₁x₂值然后利用平面向量的運(yùn)算法則求得和|OA|•|OB|的值，進(jìn)而向量的數(shù)量積的計(jì)算求得cos＜，＞的值，最后求得與夾角．
解答：解：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F（1，0），直線(xiàn)l的方程為：x=y+1；
將其代入拋物線(xiàn)方程得：y²-4y-4=0設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有y₁+y₂=4，y₁y₂=-4，
又x₁=y₁²，x₂=y₂²，
∴x₁x₂=（y₁y₂）²=1．
=（x₁，y₁）•（x₂，y₂）=x₁x₂+y₁y₂=-3．
|OA|•|OB|===，
∴cos＜，＞==-
故與夾角為x-arccos．
故答案為：x-arccos．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)和平面向量的計(jì)算．在研究形如y²=2px的拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為x=my+b的形式，不僅可以簡(jiǎn)化計(jì)算，有時(shí)還可以避免對(duì)直線(xiàn)斜率是否存在的討論．