在平面直角坐標系中，已知分別是橢圓的左、右焦點，橢圓與拋物線有一個公共的焦點，且過點.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于、兩點,若(為坐標原點),試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

 

【答案】

(Ⅰ) (Ⅱ) 直線與圓相切

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 由題意得 ，又，結(jié)合,可解得的值,從而得橢圓的標準方程.(Ⅱ)設(shè),則,當直線與軸垂直時,由橢圓的對稱性易求兩點的坐標,并判斷直線與圓是否相切.當直線的不與軸垂直時,可設(shè)其方程為

,與橢圓方程聯(lián)立方程組消法得: ，

,結(jié)合,可得與的關(guān)系,由此可以判斷與該直線與圓的位置關(guān)系.

試題解析：解(Ⅰ)由已知得,由題意得 ，又， 2分

消去可得，，解得或（舍去），則，

所以橢圓的方程為． 4分

(Ⅱ)結(jié)論：直線與圓相切.

證明:由題意可知,直線不過坐標原點,設(shè)的坐標分別為

(ⅰ)當直線軸時,直線的方程為且

則

解得，故直線的方程為 ，

因此,點到直線的距離為，又圓的圓心為,

半徑 所以直線與圓相切 7分

(ⅱ)當直線不垂直于軸時,

設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程消去得；

得 ，

，故，

即① 10分

又圓的圓心為,半徑，

圓心到直線的距離為，

② 將①式帶入②式得：，

所以 因此,直線與圓相切 13分

考點：1、橢圓和拋物線的標準方程；2、直線與拋物線的位置關(guān)系.

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為：pcos(θ-
π3
)=1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點，則MN的中點P在平面直角坐標系中的坐標為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，A（3，0）、B（0，3）、C（cosθ，sinθ），θ∈(
π
2
，
3π
2
)，且|
AC
|=|
BC
|．
（1）求角θ的值；
（2）設(shè)α＞0，0＜β＜
π
2
，且α+β=
2
3
θ，求y=2-sin2α-cos2β的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點（x，y）為整點，下列命題中正確的是
 
（寫出所有正確命題的編號）．
①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點
③直線l經(jīng)過無窮多個整點，當且僅當l經(jīng)過兩個不同的整點
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，下列函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，以點（1，0）為圓心，r為半徑作圓，依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點，若AC與BD的交點F恰好為拋物線的焦點，則r=
 
．

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