【題目】已知函數(shù).

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）判斷函數(shù)的零點的個數(shù)，并說明理由；

（3）設(shè)是的一個零點，證明曲線在點處的切線也是曲線的切線.

【答案】（1）（2）有且僅有兩個零點，詳見解析（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得結(jié)果；

（2）根據(jù)單調(diào)性和零點存在性定理可得在和上各有唯一一個零點，由此可得答案；

（3）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點處的切線為，設(shè)曲線在點處的切線斜率為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程為，根據(jù)是的一個零點，可證兩條切線重合.

（1）因為，

所以，，.

所以曲線在點處的切線的方程為.

（2）函數(shù)有且僅有兩個零點.理由如下：

的定義域為.

因為，

所以在和上均單調(diào)遞增.

因為，，

所以在上有唯一零點.

因為，，

所以在上有唯一零點.

綜上，有且僅有兩個零點.

（3）曲線在點處的切線方程為，即.

設(shè)曲線在點處的切線斜率為，

則，，，即切點為.

所以曲線在點處的切線方程為

，即.

因為是的一個零點，所以.

所以.

所以這兩條切線重合.

所以結(jié)論成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為A，過的直線與y軸交于點M，滿足（O為坐標(biāo)原點），且直線l與直線之間的距離為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）在直線上是否存在點P，滿足？存在，指出有幾個這樣的點（不必求出點的坐標(biāo)）；若不存在，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)有極值，且導(dǎo)函數(shù)的極值點是的零點.

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

（2）證明：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知在中，角的對邊分別為,且.

（1）求的值；

（2）若,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某購物網(wǎng)站開展一種商品的預(yù)約購買，規(guī)定每個手機號只能預(yù)約一次，預(yù)約后通過搖號的方式?jīng)Q定能否成功購買到該商品.規(guī)則如下：（ⅰ）搖號的初始中簽率為；（ⅱ）當(dāng)中簽率不超過時，可借助“好友助力”活動增加中簽率，每邀請到一位好友參與“好友助力”活動可使中簽率增加.為了使中簽率超過，則至少需要邀請________位好友參與到“好友助力”活動.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若在定義域內(nèi)是增函數(shù)，且存在不相等的正實數(shù)，使得，證明：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《九章算術(shù)》中“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補原理給出了這個問題的一般解法：如圖1，用對角線將長和寬分別為和的矩形分成兩個直角三角形，每個直角三角形再分成一個內(nèi)接正方形（黃）和兩個小直角三角形（朱、青）．將三種顏色的圖形進行重組，得到如圖2所示的矩形．該矩形長為，寬為內(nèi)接正方形的邊長．由劉徽構(gòu)造的圖形還可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3．設(shè)為斜邊的中點，作直角三角形的內(nèi)接正方形對角線，過點作于點，則下列推理正確的是（ ）

①由圖1和圖2面積相等得；

②由可得；

③由可得；

④由可得．

A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝1，∠ABC＝60°，四邊形ACFE為矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1．

（1）證明：BC⊥平面ACFE；

（2）設(shè)點M在線段EF上運動，平面MAB與平面FCB所成銳二面角為θ，求cosθ的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），，為曲線上的一動點.

（I）求動點對應(yīng)的參數(shù)從變動到時，線段所掃過的圖形面積；

（Ⅱ）若直線與曲線的另一個交點為，是否存在點，使得為線段的中點？若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案