Question

已知函數(shù)y=x³-3mx²-4n³(mn≠0),過原點(diǎn)作函數(shù)圖象的一條切線,切點(diǎn)A恰好是函數(shù)的極值點(diǎn).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)證明:m+n=0.

(3)記f(x)=x³-3mx²-4n³(m<0),當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),總有f(x)>-1,求m的取值范圍.

Answer 1

解：(1)先求導(dǎo),得y′=3x²-6mx, 令y′=0,得x=0,或x=2m.

   則根據(jù)題意可知,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,0)或(2m,0).

   當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,0)時(shí),將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=x³-3mx²-4n³得n=0,

   與mn≠0矛盾， 所以, x=0舍去.

   由已知,m≠0.

當(dāng)m<0時(shí),函數(shù)在(-∞,2m),(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增；在(2m,0)單調(diào)遞減 .

   當(dāng)m>0時(shí),函數(shù)在(-∞,0),(2m,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增；在(0,2m)內(nèi)單調(diào)遞減.

       (2)證明:由(1)可知,點(diǎn)A(2m,0)在函數(shù)的圖象上,

        ∴0=(2m)³-3m?(2m)-4n³,

        ∴m³=-n³,

        ∴m+n=0.

        (3)由(2)可得, f(x)=x³-3mx²+4m³,  ∴f(-1)=-1-3m+4m³,

        由(1)可知,當(dāng)m<0時(shí),在(0,1]內(nèi),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,點(diǎn)(0,4m³)為函數(shù)的極小值點(diǎn), 

當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),總有f(x)>-1當(dāng)且僅當(dāng)

          

         解得,   -<m<0.