Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-1

2x+1

，
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）證明：f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（3）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值域,函數(shù)奇偶性的判斷

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求f（x）的定義域?yàn)镽，然后求f（-x）和f（x）比較即可；
（2）求f′（x），根據(jù)f′（x）的符號(hào)即可證明f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（3）將原函數(shù)變成：f（x）=1-

2

2x+1

，讓x分別趨向于正無(wú)窮和負(fù)無(wú)窮，判斷f（x）趨向的值即可得到f（x）的值域．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽；
f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f(x)；
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）f′（x）=

2xln2(2x+1)-2xln2(2x-1)

(2x+1)2

=

2x+1ln2

(2x+1)2

＞0；
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（3）f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

；
當(dāng)x趨向正無(wú)窮時(shí)，

2

2x+1

趨向0且大于0，所以f（x）趨向1，即f（x）＜1；
當(dāng)x趨向負(fù)無(wú)窮時(shí)，2^x趨向0，

2

2x+1

趨向2且小于2，所以f（x）＞-1；
所以f（x）的值域是（-1，1）．

點(diǎn)評(píng)：考查奇函數(shù)的定義及判斷過(guò)程，通過(guò)判斷函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)證明函數(shù)單調(diào)性的方法，讓x趨向區(qū)間的兩端來(lái)判斷f（x）趨向的值從而求f（x）值域的方法．