Question

5．如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD為正方形，EF∥CD，平面CDFE⊥平面ABCD，且AD=3EF，DE=DF，點(diǎn)G為EF中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DG⊥BC；
（Ⅱ）M是線段BD上一點(diǎn)，若GM∥平面ADF，求DM：MB的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可證DG⊥EF，又EF∥DC，可證DG⊥DC，由面面垂直證明DG⊥平面ABCD，即可證明DG⊥BC．
（Ⅱ）過M作MN∥AB交AD于N，連接FN，證明EG∥MN，GM∥FN，可得四邊形FGMN是平行四邊形，由已知可求$\frac{DM}{DB}=\frac{1}{6}$，進(jìn)而可求$\frac{DM}{MB}=\frac{1}{5}$．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）證明：∵DE=DF，G是EF的中點(diǎn)，
∴DG⊥EF，
又∵EF∥DC，
∴DG⊥DC，…（2分）
又∵平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF=CD，
∴DG⊥平面ABCD，
又∵BC在平面ABCD內(nèi)，
∴DG⊥BC．…（6分）
（Ⅱ）過M作MN∥AB交AD于N，連接FN，
∵EG∥DC，DC∥AB，
∴EG∥MN，
又∵GM∥平面ADF，
∴GM∥FN，
∴四邊形FGMN是平行四邊形，…（9分）
∴$MN=FG=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{6}AB$，
∵$\frac{DM}{DB}=\frac{1}{6}$，
∴$\frac{DM}{MB}=\frac{1}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間幾何體的性質(zhì)，空間直線的位置關(guān)系，直線平面的平行關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．