Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的最大值；

（2）當，確定函數(shù)零點的個數(shù)；

（3）若存在正實數(shù)對，使得當時，能成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）個；（3）.

【解析】

（1）由題意可知，對任意的恒成立，利用參變量分離法和基本不等式可求得實數(shù)的最大值；

（2）當時，，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，并求出該函數(shù)的極大值和極小值，進而可得出函數(shù)的零點個數(shù)；

（3）當時，由可得，令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的值域，即可得出實數(shù)的取值范圍.

（1）函數(shù)的定義域為，，

由題意可知對任意的恒成立，，

當時，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，

所以，，因此，實數(shù)的最大值為；

（2）當時，，定義域為，.

令，得或，列表如下：

		極大值		極小值

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.

所以，函數(shù)的極大值為，極小值為，

且，

所以，函數(shù)只有一個零點；

（3），，

，

令，得，構(gòu)造函數(shù)，，

令，得，，解得，

當時， ；當時，.

所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

所以，函數(shù)的最小值為，

當時，；當時，.

因此，實數(shù)的取值范圍是.