Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=
（1）當(dāng)a≥1時(shí)，求f（x）在[0，e]（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上的最大值；
（2）對(duì)任意的正實(shí)數(shù)a，問(wèn)：曲線y=f（x）上是否存在兩點(diǎn)P，Q，使得△POQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= ，

當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f′（x）=﹣3x2+2x=﹣3x（x﹣ ），

令f'（x）＞0，解得：0≤x＜ ，

令f′（x）＜0，解得： ＜x＜1，

故f（x）在[0， ）遞增，在（ ，1）遞減，

而f（ ）= ，

∴f（x）在區(qū)間[0，1）上的最大值為 ，

1≤x＜e時(shí)，f（x）=alnx，f′（x）= ＞0，

f（x）在[1，e]遞增，f（x）max=f（e）=a≥1，

綜上f（x）在[0，e]的最大值是a

（2）解：曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P，Q只能在y軸的兩側(cè)，

不妨設(shè)P（t，f（t））（t＞0），則Q（﹣t，t3+t2），顯然t≠1，

∵△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，

∴ =0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0．（1）

是否存在兩點(diǎn)P、Q等價(jià)于方程（1）是否有解．

若0＜t＜1，則f（t）=﹣t3+t2，代入（1）式得，

﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，即t4﹣t2+1=0，

而此方程無(wú)實(shí)數(shù)解，因此t＞1．

∴f（t）=alnt，代入（1）式得，﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，

即 =（t+1）lnt． （*），

考察函數(shù)在h（x）=（x+1）lnx（x≥1），

則h′（x）=lnx+ +1＞0，

∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，∵t＞1，∴h（t）＞h（1）=0，

當(dāng)t→+∞時(shí)，h（t）→+∞，∴h（t）的取值范圍是（0，+∞）．

∴對(duì)于a＞0，方程（*）總有解，即方程（1）總有解．

因此對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y=f（x）上總存在兩點(diǎn)P、Q，

使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上

【解析】（1）當(dāng)0≤x＜e時(shí)，求導(dǎo)函數(shù)，可得f（x）在區(qū)間[0，e]上的最大值；（2）假設(shè)曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在y軸兩側(cè)．設(shè)P、Q的坐標(biāo)，由此入手能得到對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P、Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．