Question

20．已知函數(shù)f（x）=|x-a|．
（1）若不等式f（x）≤1的解集為{x|1≤x≤3}，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若a=2，且存在實(shí)數(shù)x，使得m≥f（x）+f（x+5）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）解不等式，根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系得到關(guān)于a的方程組，求出a的值即可；（2）法一：通過(guò)討論x的范圍，求出g（x）的最小值從而求出m的范圍即可；法二：根據(jù)絕對(duì)值不等式的意義求出g（x）的最小值，求出m的范圍即可．

解答 解：（1）由f（x）≤1得|x-a|≤1，
解得a-1≤x≤a+1．-------（2分）
又已知不等式f（x）≤1的解集為{x|1≤x≤3}，
所以$\left\{\begin{array}{l}a-1=1\\ a+1=3\end{array}\right.$解得a=2．-------（4分）
（2）法一：當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=|x-2|，
設(shè)g（x）=f（x）+f（x+5），
于是g（x）=|x-2|+|x+3|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-1，x＜-3}\\{5，-3≤x≤2}\\{2x+1，x＞2}\end{array}\right.$---（6分）
所以當(dāng)x＜-3時(shí)，g（x）＞5；  當(dāng)-3≤x≤2時(shí)，g（x）=5；
當(dāng)x＞2時(shí)，g（x）＞5．綜上可得，g（x）的最小值為5．---（8分）
存在實(shí)數(shù)x，使得m≥f（x）+f（x+5）成立，
則m≥[f（x）+f（x+5）]_min，
所以m的取值范圍為[5，+∞）-------（10分）
法二：當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=|x-2|，
設(shè)g（x）=f（x）+f（x+5），
由|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5（當(dāng)且僅當(dāng)-3≤x≤2時(shí)等號(hào)成立），
得g（x）的最小值為5．------（8分）
存在實(shí)數(shù)x，使得m≥f（x）+f（x+5）成立，
則m≥[f（x）+f（x+5）]_min，
從而m的取值范圍為[5，+∞）-----（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的最值問(wèn)題，考查解絕對(duì)值不等式問(wèn)題以及分類討論思想，是一道中檔題．