Question

已知函數(shù)

（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；

（2）當(dāng)時，若在區(qū)間上的最小值為-2，求的取值范圍；

（3）若對任意，且恒成立，求的取值.

 

Answer 1

（1）；（2）;(3) .

【解析】

試題分析：（1）曲線在點處的切線斜率，等于函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)值.

（2）遵循“求導(dǎo)數(shù)、求駐點、討論區(qū)間導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)、確定極值”等步驟，

通過討論，，，時函數(shù)的單調(diào)性，確定得到最小值，

確定的取值范圍.

（3）根據(jù)題目的條件結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造函數(shù)，即，

只要在上單調(diào)遞增即可.

通過研究

討論，，得到在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，只需在上恒成立，因為，將問題轉(zhuǎn)化成只要，從而，利用一元二次不等式的知識，得到實數(shù)的取值范圍.

本題突出利用了“轉(zhuǎn)化與化歸思想”.

試題解析：（1）當(dāng)時，，

∵，

∴曲線在點處的切線方程是；

（2）函數(shù)x的定義域是．

當(dāng)時，

令，得或．

當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，

所以在上的最小值是；

當(dāng)時，在上的最小值是，不合題意；

當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，

所以在上的最小值是，不合題意．

綜上，a≥1；

（3）設(shè)，則，

只要在上單調(diào)遞增即可。 10分

而

當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞增； 11分

當(dāng)時，只需在上恒成立，因為，只要，

則需要， 12分

對于函數(shù)，過定點（0，1），對稱軸，只需，

即. 綜上. 14分

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程.