Question

（2012•陜西）已知橢圓C1：

x2

4

+y2=1，橢圓C₂以C₁的長(zhǎng)軸為短軸，且與C₁有相同的離心率．
（1）求橢圓C₂的方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓C₁和C₂上，

OB

=2

OA

，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（1）求出橢圓C1：

x2

4

+y2=1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，離心率，根據(jù)橢圓C₂以C₁的長(zhǎng)軸為短軸，且與C₁有相同的離心率，即可確定橢圓C₂的方程；
（2）設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x_A，y_A），（x_B，y_B），根據(jù)

OB

=2

OA

，可設(shè)AB的方程為y=kx，分別與橢圓C₁和C₂聯(lián)立，求出A，B的橫坐標(biāo)，利用

OB

=2

OA

，即可求得直線AB的方程．

解答：解：（1）橢圓C1：

x2

4

+y2=1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為e=

c

a

=

3

2

∵橢圓C₂以C₁的長(zhǎng)軸為短軸，且與C₁有相同的離心率
∴橢圓C₂的焦點(diǎn)在y軸上，2b=4，為e=

c

a

=

3

2

∴b=2，a=4
∴橢圓C₂的方程為

y2

16

+

x2

4

=1；
（2）設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x_A，y_A），（x_B，y_B），
∵

OB

=2

OA

∴O，A，B三點(diǎn)共線，且點(diǎn)A，B不在y軸上
∴設(shè)AB的方程為y=kx
將y=kx代入

x2

4

+y2=1，消元可得（1+4k²）x²=4，∴xA2=

4

1+4k2

將y=kx代入

y2

16

+

x2

4

=1，消元可得（4+k²）x²=16，∴xB2=

16

4+k2

∵

OB

=2

OA

，∴xB2=4xA2，
∴

16

4+k2

= 

16

1+4k2

，解得k=±1，
∴AB的方程為y=±x

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握橢圓幾何量關(guān)系，聯(lián)立方程組求解．