Question

【題目】f（x）=﹣x|x|+px．
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）當p=﹣2時，判斷函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)性并加以證明；
（3）當p=2時，畫出函數(shù)的圖象并指出單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】
（1）解：定義域是R，函數(shù)是奇函數(shù)．

證明：∵f（﹣x）=x|﹣x|﹣px=﹣（﹣x|x|+px）=﹣f（x），

∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)

（2）解：是單調(diào)遞減函數(shù)．當x∈（﹣∞，0）時，f（x）=x2﹣2x

理由：設x1＜x2＜0，則x1﹣x2＜0，且x1+x2＞﹣2，即x1+x2﹣2＜0，

∵f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＞0，

∴f（x1）＞f（x2），

所以函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）上是單調(diào)遞減函數(shù)

（3）解：

增區(qū)間[﹣1，1），減區(qū)間（﹣∞，﹣1）和[1，+∞）

【解析】（1）函數(shù)是奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的定義，證明f（﹣x）=f（x）即可；（2）函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，利用單調(diào)性的定義證明；（3）根據(jù)解析式可得函數(shù)的圖象，即可指出單調(diào)區(qū)間．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關知識，掌握奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．