Question

已知數(shù)列{a_n}的通項公式為an=

1

n

，若an，an+2，an+k(k∈N*，k＞2)成等差數(shù)列，則k的取值集合是

{5，6，8，12}

．

Answer 1

分析：由數(shù)列的通項公式分別表示出a_n，a_n+2，a_n+k，再利用a_n，a_n+2，a_n+k成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關系式，用n表示出k，分離變量后由n為正整數(shù)，從1開始取n的值，找出k為大于2的正整數(shù)時的所有值組成的集合，即可得到k的取值集合．

解答：解：∵a_n=

1

n

，且a_n，a_n+2，a_n+k成等差數(shù)列，
∴

2

n+2

=

1

n

+

1

n+k

=

2n+k

n(n+k)

，
整理得：k=

4n

n-2

=4+

8

n-2

，
∵k＞2，且k∈N^*，
∴當n=3時，k=12；n=4時，k=8；n=6時，k=6；n=10時，k=5，
則k的取值集合是{5，6，8，12}．
故答案為：{5，6，8，12}

點評：此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，利用了變量分離的方法，熟練掌握等差數(shù)列的性質(zhì)是解本題的關鍵．