(14分)已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在軸上,斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),
與
共線.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn),且,證明
為定值.
(1);(2)見(jiàn)解析。
【解析】本小題主要考查直線方程、平面向量及橢圓的幾何性質(zhì)等基本知識(shí),考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題及推理的能力.
(1)解:設(shè)橢圓方程為
則直線AB的方程為
化簡(jiǎn)得.
令則
共線,得
(2)證明:由(I)知,所以橢圓
可化為
.
在橢圓上,
即 ①
由(1)知
又又,代入①得
故為定值,定值為1.
思路拓展:(1)求橢圓離心率,主要利用定義及離心率與的關(guān)系;
(2)證明中,巧妙利用點(diǎn)在橢圓上,點(diǎn)的坐標(biāo)適合橢圓方程,及平面向量的數(shù)量積計(jì)算公式。像這種“設(shè)( )而不求”、“整體代換”的思想在解析幾何問(wèn)題解答中經(jīng)常用到。
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OA |
OB |
a |
OM |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
a2 | c |
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6 |
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