Question

設(shè)函數(shù).

（1）若，對(duì)一切恒成立，求的最大值；

（2）設(shè)，且、是曲線上任意兩點(diǎn)，若對(duì)任意，直線的斜率恒大于常數(shù)，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）的最大值為；（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，將不等式對(duì)一切恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)化為來(lái)處理，利用導(dǎo)數(shù)求處函數(shù)的最小值，進(jìn)而建立有關(guān)參數(shù)的不等式進(jìn)行求解，以便確定的最大值；（2）先根據(jù)題意得到，假設(shè)，得到，進(jìn)而得到

，并構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)并結(jié)合基本不等式法求出的取值范圍.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)一切恒成立，則有，

，令，解得，列表如下：

	減	極小值	增

故函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，即，

則有，解得，即的最大值是；

（2）由題意知，不妨設(shè)，

則有，即，

令，則，這說(shuō)明函數(shù)在上單調(diào)遞增，

且，所以在上恒成立，

則有在在上恒成立，

當(dāng)時(shí)，，則有，

即實(shí)數(shù)的取值范圍是.

考點(diǎn)：1.不等式恒成立；2.基本不等式