Question

16．已知函數(shù)f（x）=|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|；
（1）作出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）根據(jù)（1）所得圖象，填寫下面的表格：

性質(zhì)	定義域	值域	單調(diào)性	奇偶性	零點(diǎn)
f（x）

（3）關(guān)于x的方程f²（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用分段函數(shù)求出f（x）的表達(dá)式，然后作出函數(shù)f（x）的圖象，
（2）結(jié)合函數(shù)的圖象判斷相應(yīng)的性質(zhì)，
（3）根據(jù)圖象利用換元法將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：函數(shù)f（x）=|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{x}，}&{x≥1}\\{2x，}&{0＜x＜1}\\{-2x，}&{-1≤x＜0}\\{-\frac{2}{x}，}&{x＜-1}\end{array}\right.$，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
（2）由函數(shù)的圖象得函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，
函數(shù)的值域?yàn)椋?，2]，
在（-∞，-1]和（0，1）上單調(diào)遞增，
在[1，+∞）和（-1，0），單調(diào)遞減，
函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，是偶函數(shù)，
函數(shù)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，無(wú)零點(diǎn)．
（3）∵0＜f（x）≤2，且函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
∴令t=f（x），則方程等價(jià)為t²+mt+n=0，
則由圖象可知，當(dāng)0＜t＜2時(shí)，方程t=f（x）有4個(gè)不同的根，
當(dāng)t=2時(shí)，方程t=f（x）有2個(gè)不同的根，
當(dāng)t≤0或t＞2時(shí)，方程t=f（x）有0個(gè)不同的根，
若方程f²（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，等價(jià)為方程f²（x）+mf（x）+n=0（m，n∈R）恰有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
即t²+mt+n=0有兩個(gè)不同的根，
其中t₁=2，0＜t₂＜2，
則n=t₁t₂∈（0，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，利用條件求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．