Question

設f（x）=e^x-1．當a＞ln2-1且x＞0時，證明：f（x）＞x²-2ax．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：欲證f（x）＞x²-2ax，即證e^x-x²+2ax-1＞0．構造函數u（x）=e^x-x²+2ax-1，則u′（x）=e^x-2x+2a．令h（x）=e^x-2x+2a，則h′（x）=e^x-2．由此利用導數性質能證明當a＞ln 2-1且x＞0時，f（x）＞x²-2ax．

解答： 證明：欲證f（x）＞x²-2ax，即e^x-1＞x²-2ax，
即證e^x-x²+2ax-1＞0．
可令u（x）=e^x-x²+2ax-1，則u′（x）=e^x-2x+2a．
令h（x）=e^x-2x+2a，則h′（x）=e^x-2．
當x∈（-∞，ln 2）時，h′（x）＜0，
函數h（x）在（-∞，ln 2]上單調遞減，
當x∈（ln 2，+∞）時，h′（x）＞0，函數h（x）在[ln 2，+∞）上單調遞增．
所以h（x）的最小值為h（ln 2）=e^ln2-2ln 2+2a=2-2ln 2+2a．
因為a＞ln 2-1，
所以h（ln 2）＞2-2ln 2+2（ln 2-1）=0，即h（ln 2）＞0．
所以u′（x）=h（x）＞0，即u（x）在R上為增函數．
故u（x）在（0，+∞）上為增函數．所以u（x）＞u（0）．
而u（0）=0，所以u（x）=e^x-x²+2ax-1＞0．
故當a＞ln 2-1且x＞0時，f（x）＞x²-2ax．

點評：本題主要考查了利用函數的導數求出函數的單調性以及函數的極值問題，考查學生分析解決問題的能力，利用導數研究函數的單調性的能力，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．是中檔題．