Question

已知函數(shù)f（x）=（x-3）³+x-1，若數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，且f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14，則a₁+a₂+…+a₇=

 

．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意可得[（a₁-3）³+a₁-3]+[（a₂-3）³+a₂-3]+…+[（a₇-3）³+a₇-3]=0，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)求得a₄=3，從而求得a₁+a₂+…+a₇ 的值．

解答： 解：由題意可得，[（a₁-3）³+a₁-1]+[（a₂-3）³+a₂-1]+…+[（a₇-3）³+a₇-1]=14，
∴[（a₁-3）³+a₁-3]+[（a₂-3）³+a₂-3]+…+[（a₇-3）³+a₇-3]=0，
 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得 （a₄-3-3d）³ +（a₄-3-2d）³ +…+（a₄-3+3d）³+7（a₄-3）=0，
（a₄-3-3d）³ +（a₄-3+3d）³ +（a₄-3-2d）³ +（a₄-3+2d）³ +（a₄-3+d）³ +（a₄-3+d）³ ，
（a₄-3）³ +7（a₄-3）=0，
（a₄-3）[7（a₄-3）³ +84d²+7]=0，∴a₄-3=0，即a₄=3．
∴a₁+a₂+…+a₇=7a₄=21，
故答案為：21．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)的應用，屬于中檔題．