Question

設橢圓E：，O為坐標原點
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒在兩個交點A，B且？若存在，寫出該圓的方程，關求|AB|的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點M和N代入橢圓的標準方程，可求得a和b，進而可得橢圓E的方程．
（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且，設該圓的切線方程為y=kx+m，直線和橢圓方程聯(lián)立，消去y，根據(jù)判別式大于0求得k和m的不等式關系，再根據(jù)使，需使x₁x₂+y₁y₂=0，分別用k和m分別表示出x₁x₂和y₁y₂進而可求得k和m的關系，代入k和m的不等式關系中求得m的范圍，因為直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，求得半徑，圓的方程可得．此時圓的切線y=kx+m都滿足，進而判定存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且．最后用k表示出|AB|，根據(jù)k的范圍確定|AB|的范圍．
解答：解：（1）因為橢圓E：（a，b＞0）
過M（2，），N（，1）兩點，
所以解得
所以橢圓E的方程為
（2）假設存在圓心在原點的圓，
使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，
且，設該圓的切線方程為y=kx+m解方程組
得x²+2（kx+m）²=8，即（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
則△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，
即8k²-m²+4＞0，
要使，
需使x₁x₂+y₁y₂=0，
即，
所以3m²-8k²-8=0，所以又8k²-m²+4＞0，
所以，所以，
即或，
因為直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，
所以圓的半徑為，
，
，所求的圓為，
此時圓的切線y=kx+m都滿足或，
而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足，綜上，
存在圓心在原點的圓，
使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且．
因為，
所以，=，
①當k≠0時
因為所以，
所以，
所以當且僅當時取”=”．
2當k=0時，
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和橢圓與直線的關系．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．