Question

根據(jù)條件求下列函數(shù)的解析式：
（1）f（x）=3x²-2求f（2x-1）的解析式
（2）f（

x

+1）=x+2

x

．求f（x）的解析式；
（3）f（x）為二次函數(shù)且f（0）=3，f（x+2）-f（x）=4x+2．求f（x）的解析式；
（4）已知2f（x）-f（-x）=x+1，求f（x）的解析式．
（5）設(shè)f（x）是R上的函數(shù)，且滿足f（0）=1，并且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1），求f（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）代入法：將2x-1代入f（x）的解析式，得f（2x-1）=3（2x-1）²-2；（2）方法一定義法（拼湊法），方法二（換元法）令t=

x

+1；
（3）（待定系數(shù)法）設(shè)f（x）=ax²+bx+c；（4）解方程組法，用-x去替換式子中的x，得2f（-x）-f（x）=-x+1，解方程組求出即可；（5）賦值法．

解答： 解：（1）代入法：將2x-1代入f（x）的解析式，得f（2x-1）=3（2x-1）²-2∴f（2x-1）=12x²-12x+1
（2）方法一定義法（拼湊法）

∵f( x +1)=x+2 x =( x +1)2-1 ∴f(x)=x2-1，x∈[1，+∞)

方法二（換元法）令t=

x

+1，
∴t≥1，x=（t-1）²．則f（t）=（t-1）²+2（t-1）=t²-1，即f（x）=x²-1，x∈[1，+∞）．
（3）（待定系數(shù)法）設(shè)f（x）=ax²+bx+c （a≠0），∴f（x+2）=a（x+2）²+b（x+2）+c，
則f（x+2）-f（x）=4ax+4a+2b=4x+2．
∴

4a=4 4a+2b=2

，∴

a=1 b=-1

．
，又f（0）=3，∴c=3，∴f（x）=x²-x+3．
（4）（解方程組法）∵2f（x）-f（-x）=x+1，用-x去替換式子中的x，得2f（-x）-f（x）=-x+1
即有

2f(x)-f(-x)=x+1 2f(-x)-f(x)=-x+1

，解方程組消去f（-x），得f(x)=

x

3

+1．
（5）（賦值法）解法一∵f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y都成立，
∴令x=y，得f（0）=f（x）-x（2x-x+1），又f（0）=1，∴f（x）=x²+x+1
解法二：令x=0，則有f（0-y）=f（0）-y（0-y+1），即f（-y）=1-y（-y+1）①
再令-y=x，代入①式得f（x）=1+x（x+1）=x²+x+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的解析式的求法，常用求法本題中均有體現(xiàn)，是一道基礎(chǔ)題．