Question

四棱錐中，底面為矩形，側面底面，，，．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）設側面為等邊三角形，求二面角的大�。�

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）作AO⊥BC，垂足為O，連接OD，由題設知，AO⊥底面BCDE，且O為BC中點，

由知，Rt△OCD～Rt△CDE，從而∠ODC=∠CED，于是CE⊥OD.

由三垂線定理知，AD⊥CE.

（Ⅱ）作CG⊥AD，垂足為G，連接GE。

由（Ⅰ）知，CE⊥AD，又CECG=C，

故AD⊥平面CGE，AD⊥GE，所以∠CGE是二面角C-AD-E的平面角。

解法二：

（Ⅰ）作AO⊥BC，垂足為O。

由題設知AO⊥底面BCDE，且O為BC的中點。

以O為坐標原點，射線OC為x軸正向，建立如圖所示的直角坐標系O-xyz.

設A（0，0，t），由已知條件有

C(1,0,0), D(1, ,0),E(-1, ,0),

知AD⊥CE.

（Ⅱ）△ABC為等邊三角形，因此A（0，0，）.

作CG⊥AD，垂足為G，連接GE，在Rt△ACD中，求得|AG|=

故

所以與的夾角等于二面角C-AD-E的平面角.

知二面角C-AD-E為arccos().