Question

13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，△ABC為正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PC=$\sqrt{2}PA=\sqrt{2}$AC，平面PAC⊥平面ABCD．
（1）點(diǎn)E在棱PC上，試確定點(diǎn)E的位置，使得PD⊥平面ABE；
（2）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 由已知可得PA⊥AC，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得PA⊥AB，PA⊥AD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB，AD，AP分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出所用點(diǎn)的坐標(biāo)．
（1）由數(shù)量積為0可得PD⊥AB，設(shè)$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AP}+λ\overrightarrow{PC}$，再由$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PD}=0$求得λ值，則點(diǎn)E的位置確定；
（2）求出平面PCD的一個(gè)法向量，取平面PAD的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A-PD-C的余弦值．

解答 解：∵$PC=\sqrt{2}PA=\sqrt{2}AC$，∴PA⊥AC，
又∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，
∴PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，PA⊥AD，又AB⊥AD，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB，AD，AP分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PA=2，則$B（{2，0，0}），C（{1，\sqrt{3}，0}），D（{0，\frac{{4\sqrt{3}}}{3}，0}），P（{0，0，2}）$，
（1）∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{PD}=（2，0，0）•（0，\frac{4\sqrt{3}}{3}，0）=0$，∴PD⊥AB．
設(shè)$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AP}+λ\overrightarrow{PC}$，
若AE⊥PD，則$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PD}=0$，即$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PD}+λ\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}=0$，
即-4+λ•8=0，得$λ=\frac{1}{2}$，即當(dāng)E為PC的中點(diǎn)時(shí)，AE⊥PD，
則PD⊥平面ABE，
∴當(dāng)E為PC的中點(diǎn)時(shí)PD⊥平面ABE；
（2）設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\overrightarrow{PC}=（1，\sqrt{3}，-2）$$\overrightarrow{PD}=（0，\frac{4\sqrt{3}}{3}，-2）$，
則$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0$且$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0$，
即$x+\sqrt{3}y-2z=0$且$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}y-2z=0$，令$y=\sqrt{3}$，則z=2，x=1，則$\overrightarrow{n}=（1，\sqrt{3}，2）$，
再取平面PAD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）．
則cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故二面角A-PD-C的余弦值為$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定，訓(xùn)練了利用空間向量證明線面垂直及求二面角的平面角，考查計(jì)算能力，是中檔題．