函數(shù)y=f(x)的定義域D={x|x∈R,且x≠0},對定義域D內(nèi)任意兩個實數(shù)x1,x2,都有f(x1)+f(x2)=f(x1x2)成立.
(1)求f(-1)的值并證明y=f(x)為偶函數(shù);
(2)若f(-4)=4,記 an=(-1)n•f(2n)
 &(n∈N,n≥1)
,求數(shù)列{an}的前2009項的和S2009;
(3)(理) 若x>1時,f(x)<0,且不等式f(
x2+y2
)≤f(
xy
)+f(a)
對任意正實數(shù)x,y恒成立,求非零實數(shù)a的取值范圍.
(4)(文) 若x>1時,f(x)<0,解關于x的不等式 f(x-3)≥0.
分析:(1)利用賦值法求f(-1)的值,利用偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)為偶函數(shù);
(2)先根據(jù)f(n)求數(shù)列{an}的通項,進而可求數(shù)列{an}的前2009項的和S2009
 (3)先說明f(x)>0(0<x<1)
(理)f(
x2+y2
)≤f(
xy
)+f(a)
等價于f(
x2+y2
a
xy
)≤0
,進而有|a|≤
x2+y2
xy
恒成立,利用基本不等式有
x2+y2
xy
2
,從而0<|a|≤
2
…(18分)
(4)(文)根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)即f(x-3)≥0,可有0<|x-3|≤1,從而可解不等式.
解答:解:(1)賦值得f(1)=f(-1)=0,…(2分)
∵f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)
∴函數(shù)為偶函數(shù)              …(4分)
(2)f(-4)=4得f(2)=2,f(2n)=f(2n-1)+f(2)
∴f(2n)=2n…(8分)
∴an=2•(-1)nn,
∴S2009=-2010…(10分)
(3)設 0<x<1,則
1
x
>1
,0=f(1)=f(x)+f(
1
x
)
,得f(x)>0(0<x<1)…(14分)
(理)f(
x2+y2
)≤f(
xy
)+f(a)
f(
x2+y2
a
xy
)≤0
?
x2+y2
|a|
xy
≥1
|a|≤
x2+y2
xy
恒成立,
x2+y2
xy
2
,從而0<|a|≤
2
…(18分)
(4)(文)f(x-3)≥0?0<|x-3|≤1?2≤x<3或3<x≤4…(18分)
點評:本題的考點是函數(shù)恒成立問題,主要考查合適的形式,考查數(shù)列與函數(shù)的關系,考查恒成立問題,關鍵是分離參數(shù),利用最值法求解.
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(Ⅲ)設購買者一次購買x件,商場的售價為y元,試寫出函數(shù)y=f(x)的表達式.

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