Question

函數(shù)f（x）=3cos

πx

2

-log

1

2

x零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）=3cos

πx

2

，g(x)=log

1

2

x的圖象，令h（x）=f（x）-g（x），利用函數(shù)零點(diǎn)存在判定定理及函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答： 解：在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）=3cos

πx

2

，g(x)=log

1

2

x的圖象，

令h（x）=f（x）-g（x），
①∵f(

1

8

)=3cos

π

16

＜3，g(

1

8

)=3，f(

1

2

)=3cos

π

4

=

3 2

2

，g(

1

2

)=1，
∴h(

1

8

)＜0，h(

1

2

)＞0，∴h(

1

8

)h(

1

2

)＜0，∴h（x）在區(qū)間(

1

8

，

1

2

)內(nèi)存在零點(diǎn)；
②∵h(yuǎn)（1）=f（1）-g（1）=0-0=0，∴x=1是函數(shù)h（x）的一個(gè)零點(diǎn)；
③∵h(yuǎn)（2）=3cosπ-log

1

2

2=-3+1=-2＜0，h（3）=3cos

3π

2

-log

1

2

3=-log

1

2

3＞0，
∴h（2）h（3）＜0，h（x）在區(qū)間（2，3）內(nèi)存在零點(diǎn)；

同理函數(shù)h（x）在區(qū)間（5，6），（6，7）內(nèi)也分別存在零點(diǎn)．

④當(dāng)x＞8時(shí)，|f（x）|≤3，|g（x）|＞|log

1

2

8|=3．∴函數(shù)h（x）在區(qū)間（8，+∞）上不存在零點(diǎn)．

綜上可知：函數(shù)h（x）有且僅有5個(gè)零點(diǎn)．

故選D．

點(diǎn)評：熟練掌握函數(shù)零點(diǎn)存在判定定理及函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵．