Question

已知點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別是（-2，0）、（2，0），直線EP、FP相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積為-

1

4

．
（1）求證：點(diǎn)P的軌跡在一個(gè)橢圓C上，并寫出橢圓C的方程；
（2）設(shè)過(guò)原點(diǎn)O的直線AB交（1）中的橢圓C于點(diǎn)A、B，定點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，

1

2

)，試求△MAB面積的最大值，并求此時(shí)直線AB的斜率k_AB；
（3）反思（2）題的解答，當(dāng)△MAB的面積取得最大值時(shí)，探索（2）題的結(jié)論中直線AB的斜率k_AB和OM所在直線的斜率k_OM之間的關(guān)系．由此推廣到點(diǎn)M位置的一般情況或橢圓的一般情況（使第（2）題的結(jié)論成為推廣后的一個(gè)特例），試提出一個(gè)猜想或設(shè)計(jì)一個(gè)問題，嘗試研究解決．
[說(shuō)明：本小題將根據(jù)你所提出的猜想或問題的質(zhì)量分層評(píng)分]．

Answer 1

分析：（1）由已知中點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別是（-2，0）、（2，0），直線EP，F(xiàn)P相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積為 -

1

4

．我們?cè)O(shè)出P（x，y），進(jìn)而得到x，y之間的關(guān)系式，整理后即可知點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx，A（x₁，kx₁），則B（-x₁，-kx₁），聯(lián)立直線和橢圓的方程，我們可得 x2=

4

1+4k2

，利用弦定公式，求出AB的長(zhǎng)，利用點(diǎn)到直線公式，求出M點(diǎn)直線AB的距離求出AB邊的高，可以得到△MAB面積的表達(dá)式，進(jìn)而求出△MAB面積m的取值范圍，得到△MAB面積m的，代入可求出對(duì)應(yīng)的k值．
（3）設(shè)M（1，4），根據(jù)（2）的計(jì)算辦法，我們易求出，△MAB的面積取得最大值時(shí)，并求出此進(jìn)k_OM及k_AB的值，驗(yàn)證后，可得猜想不成立．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y）為軌跡上的動(dòng)點(diǎn)，由題意

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

4

⇒x2+4y2=4
即

x2

4

+y2=1，∴點(diǎn)P的軌跡在橢圓C：

x2

4

+y2=1上；------------4分
（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx，A（x₁，kx₁），則B（-x₁，-kx₁）
聯(lián)立方程 y=kx與

x2

4

+y2=1
整理可得 x2=

4

1+4k2

AB=2OA=2

(1+k2)x12

=4

1+k2 1+4k2

∵M(jìn)（ 1，

1

2

）到直線AB的距離d=

|k- 1 2 |

1+k2

S△MAB=

1

2

AB•d=

1

2

×4

1+k2 1+4k2

×

|k- 1 2 |

1+k2

=m
則4（1-m²）k²-4k+1-m²=0
則4²-4•4（1-m²）•（1-m²）≥0
即（1-m²）²≤1
又由m≥0可得
0≤m≤

2

即三角形MAB的最大值為

2

代入4（1-m²）k²-4k+1-m²=0得
k=-

1

2

（3）說(shuō)明：本小題共（8分），建議根據(jù)學(xué)生提出的問題或猜想的質(zhì)量劃分為三檔，其中：
（Ⅰ）此檔最高得分（4分），若學(xué)生提出諸如：
“設(shè)點(diǎn)M（1，b）（ab≠0）為橢圓C：

x2

4

+y2=1內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)橢圓C中心的直線AB與橢圓分別交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)k_OM=-k_AB時(shí)，△MAB的面積取得最大值．此推廣不充分，且為假命題的猜想，但能舉出反例否定之，則最高得（4分）；
若提出的猜想或問題質(zhì)量不高，則無(wú)論能否自行解決，最高得（2分）．
（Ⅱ）此檔最高得分（6分），若學(xué)生的猜想或設(shè)計(jì)的問題能將點(diǎn)M的位置推廣到一般情況或者能將橢圓方程推廣到一般情況（即推廣了其中一個(gè)條件），則可得（4分）；
若能分析“k_OM=-k_AB”為假命題，并能進(jìn)一步嘗試發(fā)現(xiàn)斜率k_AB和k_OM之間的關(guān)系（但無(wú)明確結(jié)論），則最高可得（5分）；
學(xué)生在自行解決推廣其中一個(gè)條件的問題中，若能發(fā)現(xiàn)k_AB和k_OM之間的規(guī)律（本質(zhì)規(guī)律參考滿分一檔的解答）或完整解答自己提出的推廣問題，則可得（6分）．
（Ⅲ）最高得分（8分），若學(xué)生能提出較一般化的推廣，例如：
試問1：“設(shè)點(diǎn)M（m，n）（mn≠0）和橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），若過(guò)橢圓C中心的直線AB與橢圓分別交于A、B兩點(diǎn)，試驗(yàn)證：當(dāng)△MAB的面積取得最大值時(shí)，直線AB的泄率k_AB和OM所在直線的斜率k_OM滿足kAB•kOM=-

b2

a2

”（或其等價(jià)命題）則可得（6分）；
試問2：“設(shè)點(diǎn)M（m，n）（mn≠0）和橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），若過(guò)橢圓C中心的直線AB與橢圓分別交于A、B兩點(diǎn)，試求出當(dāng)△MAB的面積取得最大值時(shí)，直線AB的泄率k_AB和OM所在直線的斜率k_OM滿足的關(guān)系式”則可得（5分）；
若能找到本質(zhì)規(guī)律并給予證明，則得滿分（8分）．現(xiàn)給出設(shè)問1的一種證明：
證明：設(shè)M（m，n）（mn≠0），由橢圓的對(duì)稱性，可設(shè)A（acosθ，bsinθ），點(diǎn)A到直線OM的距離為d，由此OM所在直線方程為nx-my=0，∴d=

|ancosθ-bmsinθ|

m2+n2

=

a2n2+b2m2 m2+n2

|sin(θ+φ)|，
其中

sinφ= an a2n2+b2m2 cosφ= -bm a2n2+b2m2

，可得tanφ=-

an

bm

要使d取得最大值，則必有sin（θ+φ）=±1，即θ+φ=kπ+

π

2

，k∈Z∴此時(shí)必有θ=kπ+

π

2

-φ，k∈Z，由題設(shè)，當(dāng)d取得最大值時(shí)，kAB=

b

a

tanθ=

b

a

•tan(kπ+

π

2

-φ)=

b

a

•cotφ=

b

a

•(

-bm

an

)=-

b2m

a2n

∴此時(shí)kAB•kOM=-

b2m

a2n

•

n

m

=-

b2

a2

，
可以驗(yàn)證，在第（2）題條件下，kAB•kOM=-

1

4

是以上結(jié)論的一個(gè)特例．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合問題，其中（1）的關(guān)鍵是分別求出兩條直線的斜率，進(jìn)而得到P點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)的關(guān)系式，（2）的關(guān)鍵是得到△MAB面積的表達(dá)式，（3）中正面證明比較麻煩，可以舉出一反例，推反前面的猜想．