Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=x2+

1

x

．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）判斷并證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 易得f（0）=0，令x＞0，則-x＜0，代入已知結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得解析式；
（Ⅱ） 函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)，可用定義法證明．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴對定義域R內(nèi)任意的x，都有f（-x）=-f（x）--（1分）
令x=0得，f（0）=-f（0），即f（0）=0--------------（3分）
又當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，此時(shí)f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+(

1

-x

)]=-x2+

1

x

---（5分）
綜合可得：f(x)=

x2+ 1 x ，x＜0 0，x=0 -x2+ 1 x ，x＞0

--------（7分）
（Ⅱ） 函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)，下面給予證明．-----------（8分）
設(shè)0＜x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=(-

x

2 1

+

1

x1

)-(-

x

2 2

+

1

x2

)
=(x2-x1)•(x2+x1+

1

x1x2

)-----（10分）
∵0＜x₁＜x₂，
∴x2-x1＞0，x2+x1＞0，

1

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）---（13分）
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)．------------（14分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，涉及對稱區(qū)間的解析式的求解，屬基礎(chǔ)題．