Question

5．設函數f（x）=lg[log${\;}_{\frac{1}{2}}}$（${\frac{1}{2}$x-1）]的定義域為集合A，集合B={x|x＜1，或x≥3}．
（1）求A∪B，（∁_RB）∩A；
（2）若2^a∈A，且log₂（2a-1）∈B，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意：求函數的定義域得到集合A，在根據集合的基本運算求解A∪B，（∁_RB）∩A；
（2）因為2^a∈A，log₂（2a-1）∈B，即A是2^a的值域，B是log₂（2a-1）的值域，即可求解a的范圍．

解答 解：（1）函數f（x）=lg[log${\;}_{\frac{1}{2}}}$（${\frac{1}{2}$x-1）]的定義域是集合A；
函數f（x）的定義域滿足.${log_{\frac{1}{2}}}（\frac{1}{2}x-1）＞0$，
∴$0＜\frac{1}{2}x-1＜1$，
∴2＜x＜4，
∴集合A=（2，4）；
集合B={x|x＜1，或x≥3}．即B=（-∞，1）∪[3，+∞），
∴∁_RB=[1，3），
故得∴A∪B=（-∞，1）∪（2，+∞）； 
（∁_RB）∩A=（2，3）．
（2）由（1）得A=（2，4）；B=（-∞，1）∪[3，+∞），
∵2^a∈A，
∴2＜2^a＜4，
解得：1＜a＜2，
又∵log₂（2a-1）∈B，
∴l(xiāng)og₂（2a-1）＜1或log₂（2a-1）≥3，
∴0＜2a-1＜2或2a-1≥8，
解得$\frac{1}{2}＜a＜\frac{3}{2}或a≥\frac{9}{2}$
∴$1＜a＜\frac{3}{2}$．
所以實數a的取值范圍是（1，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查了對函數的定義域求法和集合的基本運算，對數，指數的計算問題．屬于基礎題．