Question

已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx．
（1）指出函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個數(shù)，并給出證明；
（2）若關(guān)于x的不等式mf（x）＞2（x-1）對于所有x∈（1，+∞）都成立，求實(shí)數(shù)m的取值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，結(jié)合圖象即可得出結(jié)論；
（2）利用（1）的結(jié)論，利用導(dǎo)數(shù)把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題解決．

解答： 解：（1）f′（x）=lnx+

x+1

x

=

xlnx+x+1

x

=0，∴xlnx+x+1=0即lnx=-1-

1

x

，
作出y=lnx與y=-1-

1

x

的圖象如圖，可知兩圖象只有一個交點(diǎn)，
∴f′（x）=0，只有一個根，函數(shù)f（x）只有一個極值點(diǎn)．

（2）mf（x）＞2（x-1）對于所有x∈（1，+∞）都成立，
∴m（x+1）lnx-2（x-1）＞0，對于所有x∈（1，+∞）都成立，
即mxlnx+mlnx-2x+2＞0，對于所有x∈（1，+∞）都成立，
令g（x）=mxlnx+mlnx-2x+2則g′（x）=m•

xlnx+x+1

x

-2=mf′（x）-2，
由（1）知當(dāng)x＞1時，f′（x）＞2，
又g（0）=0，
∴要使mxlnx+mlnx-2x+2＞0，對于所有x∈（1，+∞）都成立，
只要使g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增即可，
即g′（x）=m•

xlnx+x+1

x

-2=mf′（x）-2＞0即m＞

2

f′(x)

，
∵(

2

f′(x)

)max=1，
∴m＞1．
∴實(shí)數(shù)m的取值是（1，+∞）

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性求極值最值問題，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想及和成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力，屬于難題．