Question

11．當(dāng)x∈[-4，-1]∪[1，4]時，不等式ax²-x+4+$\frac{3}{x}$≤0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-2]
• B． （-∞，-2）
• C． （-∞，-6]
• D． （-∞，-6）

Answer 1

分析 由題意可得a≤$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{{x}^{3}}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$在x∈[-4，-1]∪[1，4]的最小值，由f（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{{x}^{3}}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性可得最小值，可得a的范圍．

解答 解：當(dāng)x∈[-4，-1]∪[1，4]時，不等式ax²-x+4+$\frac{3}{x}$≤0恒成立，
即為a≤$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{{x}^{3}}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$在x∈[-4，-1]∪[1，4]的最小值，
由f（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{{x}^{3}}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{9}{{x}^{4}}$+$\frac{8}{{x}^{3}}$=$\frac{9+8x-{x}^{2}}{{x}^{4}}$，
由x∈[1，4]可得9+8x-x²＞0，即有區(qū)間[1，4]為增區(qū)間，
即有f（1）為[1，4]上的最小值，且為-6；
由x∈[-4，-1]可得9+8x-x²≤0，即有區(qū)間[-4，-1]為減區(qū)間，
即有f（-1）為[-4，-1]上的最小值，且為-2．
可得f（x）在x∈[-4，-1]∪[1，4]的最小值為-6．
即有a≤-6．
故選：C．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求得最值，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．