Question

已知函數(shù)f（x）=x+xlnx．
（1）求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，1）處的切線方程；
（2）若k∈Z，且k（x-1）＜f（x）對(duì)任意x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer 1

解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x+xlnx，所以f'（x）=lnx+2，所以f'（1）=2，
則函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，1）處的切線方程y-1=2（x-1），即2x-y-1=0；
（2）因?yàn)閒（x）=x+xlnx，所以k（x-1）＜f（x）對(duì)任意x＞1恒成立，
即k（x-1）＜x+xlnx，因?yàn)閤＞1，
也就是對(duì)任意x＞1恒成立．
令，則，
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），則，
所以函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
因?yàn)閔（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實(shí)根x₀，且滿足x₀∈（3，4）．
當(dāng)1＜x＜x₀時(shí)，h（x）＜0，即g'（x）＜0，當(dāng)x＞x₀時(shí)，h（x）＞0，即g'（x）＞0，
所以函數(shù)在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．
所以=
．
所以k＜[g（x）]_min=x₀
因?yàn)閤₀∈（3，4）．故整數(shù)k的最大值是3．
分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)一步得到f^′（1）的值，由直線方程的點(diǎn)斜式寫出直線方程；
（2）把函數(shù)f（x）的解析式代入k（x-1）＜f（x），整理后得k，問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意x∈（1，+∞），k恒成立，求正整數(shù)k的值．設(shè)函數(shù)g（x）=，求其導(dǎo)函數(shù)，得到其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)x₀位于（3，4）內(nèi)，且知此零點(diǎn)為函數(shù)g（x）的最小值點(diǎn)，經(jīng)求解知g（x₀）=x₀，從而得到k＜x₀，則正整數(shù)k的最大值可求．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是，在求解（2）時(shí)如何求解函數(shù)g（x）=的最小值，學(xué)生思考起來有一定難度．此題屬于難度較大的題目．