Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosθ\\ y=tsinθ\end{array}\right.$（t為參數(shù)，0≤θ＜π），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=-4cosα，圓C的圓心到直線l的距離為$\frac{3}{2}$
（1）求θ的值；
（2）已知P（1，0），若直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的值．

Answer 1

分析 （1）消去參數(shù)t，可得直線l的普通方程，根據(jù)ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²可得圓C的普通坐標(biāo)方程，利用圓心到直線的距離可得θ的值．
（2）利用直線的參數(shù)的幾何意義，將直線帶入圓中，利用韋達(dá)定理可得答案．

解答 解：（1）由直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosθ\\ y=tsinθ\end{array}\right.$（t為參數(shù)，0≤θ＜π），消去參數(shù)t，可得：xsinθ-ycosθ-sinθ=0．
圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=-4cosα，即ρ²=-4ρcosα．
可得圓C的普通坐標(biāo)方程為：x²+y²+4x=0，
可知圓心為（-2，0），圓C的圓心到直線l的距離為d=$\frac{|-2sinθ-sinθ|}{\sqrt{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}}=3sinθ$
由題意：d=$\frac{3}{2}$，即$3sinθ=\frac{3}{2}$
∴sinθ=$\frac{1}{2}$．
∵0≤θ＜π，
∴$θ=\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．
（2）已知P（1，0），在P在直線l上，直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，
將$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosθ\\ y=tsinθ\end{array}\right.$帶入圓C的普通坐標(biāo)方程x²+y²+4x=0可得：
（1+tcosθ）²+（tsinθ）²+4（1+tcosθ）=0
∴t²+6tcosθ+5=0．
設(shè)A，B對(duì)于的參數(shù)為t₁．t₂，
則t₁+t₂=-6cosθ，t₁•t₂=5，
∵t₁•t₂＞0，t₁，t₂是同號(hào)．
∴$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}=\frac{|{t}_{1}|+|{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}=\frac{3\sqrt{3}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、普通方程的互化，以及應(yīng)用，本題考查了直線參數(shù)方程的幾何意義，屬于中檔題