Question

對(duì)于定義在區(qū)間[m，n]上的兩個(gè)函數(shù)f（x）和g（x），如果對(duì)任意的x∈[m，n]，均有不等式|f（x）-g（x）|≤1成立，則稱(chēng)函數(shù)f（x）與g（x）在[m，n]上是“友好”的，否則稱(chēng)“不友好”的．現(xiàn)在有兩個(gè)函數(shù)f（x）=log_a（x-3a）與（a＞0，a≠1），給定區(qū)間[a+2，a+3]．
（1）若f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上都有意義，求a的取值范圍；
（2）討論函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上是否“友好”．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上有意義，
必須滿(mǎn)足
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上是“友好”的，
則|f（x）-g（x）|=|log_a（x²-4ax+3a²）|?|log_a（x²-4ax+3a²）|≤1
即-1≤log_a（x²-4ax+3a²）≤1（*）
因?yàn)閍∈（0，1）?2a∈（0，2），而[a+2，a+3]在x=2a的右側(cè)，
所以函數(shù)g（x）=log_a（x²-4ax+3a²）在區(qū)間[a+2，a+3]上為減函數(shù)，從而

于是不等式（*）成立的充要條件是
因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上是“友好”的；當(dāng)1＞時(shí)，函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上是不“友好”的．
分析：（1）欲使函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上有意義，即使對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，建立關(guān)系式，解之即可；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上是“友好”的，建立關(guān)系式化簡(jiǎn)可得-1≤log_a（x²-4ax+3a²）≤1，然后研究函數(shù)g（x）=log_a（x²-4ax+3a²）在區(qū)間[a+2，a+3]上的單調(diào)性，建立關(guān)系式，解之即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，以及新定義的運(yùn)用，屬于中檔題．