Question

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=2，DD₁=2

2

，則AC₁與面BDD₁所成角的大小是

π

4

．

Answer 1

分析：通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量與斜向量

AC1

的夾角公式即可得出．

解答：解：如圖所示，
  建立空間直角坐標(biāo)系，由長(zhǎng)方體可得，∴DD₁⊥AC．
由底面ABCD為矩形，AB=BC=2，∴四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，
而B(niǎo)D∩DD₁=D，∴AC⊥平面BDD₁B₁．
∴可取

AC

=(-2，2，0)作為平面BDD₁B₁的法向量．
又

AC1

=(-2，2，2

2

)．
設(shè)AC₁與面BDD₁所成角為θ．
∴sinθ=|cos＜

AC1

，

AC

＞|=

| AC1 • AC |

| AC1 | | AC |

=

8

4+4+8 • 8

=

2

2

．
由圖形可知：θ為銳角，∴θ=

π

4

．
故答案為

π

4

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用平面的法向量與斜向量的夾角公式求線面角的方法是解題的關(guān)鍵．