Question

3．定義在R上的偶函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），若對任意的示數(shù)x，都有2f（x）+xf′（x）＜2恒成立，則使x²f（x）-f（1）＜x²-1成立的x的取值范圍為x＜-1或x＞1．

Answer 1

分析 根據(jù)已知構造合適的函數(shù)，對函數(shù)求導，根據(jù)函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的取值范圍，并根據(jù)偶函數(shù)的性質的對稱性，求出x＜0的取值范圍．

解答 解：當x＞0時，由2f（x）+xf′（x）-2＜0可知：兩邊同乘以x得：
2xf（x）+x²f′（x）-2x＜0，
設：g（x）=x²f（x）-x²，
則g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）-2x＜0，恒成立：
∴g（x）在（0，+∞）單調遞減，
由x²f（x）-f（1）＜x²-1
∴x²f（x）-x²＜f（1）-1
即g（x）＜g（1）
即x＞1；
當x＜0時，函數(shù)是偶函數(shù)，同理得：x＜-1
綜上可知：實數(shù)x的取值范圍為（-∞，-1）∪（1，+∞），
故答案為：x＜-1或x＞1．

點評 主要根據(jù)已知構造合適的函數(shù)，函數(shù)求導，并應用導數(shù)法判斷函數(shù)的單調性，偶函數(shù)的性質，難度中檔．