在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),且橢圓C的離心率e=
1
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1,A2,Q是橢圓C上異于A1,A2的任一點(diǎn),直線QA1,QA2分別交x軸于點(diǎn)S,T,證明:|OS|•|OT|為定值,并求出該定值;
(3)在橢圓C上,是否存在點(diǎn)M(m,n),使得直線l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積;若不存在,請說明理由.
(1)由題意:
c=1
e=
c
a
=
1
2
a2=b2+c2
,解得:a=2,b=
3

所以橢圓C:
x2
4
+
y2
3
=1

(2)由(1)可知A1(0,
3
),A2(0,-
3
)
,設(shè)Q(x0,y0),
直線QA1y-
3
=
y0-
3
x0
x
,令y=0,得xS=
-
3
x0
y0-
3
;     
直線QA2y+
3
=
y0+
3
x0
x
,令y=0,得xT=
3
x0
y0+
3
;
|OS|•|OT|=|
-
3
x0
y0-
3
3
x0
y0+
3
|=|
3
x20
y20
-3
|

x20
4
+
y20
3
=1
,所以3
x20
=4(3-
y20
)

所以|OM|•|ON|=|
3
x20
y20
-3
|=4
;
(3)假設(shè)存在點(diǎn)M(m,n)滿足題意,則
m2
4
+
n2
3
=1
,即m2=4-
4
3
n2

設(shè)圓心到直線l的距離為d,則d=
2
m2+n2
,且d<
4
7
7

所以|AB|=2
16
7
-d2
=2
16
7
-
4
m2+n2

所以S△OAB=
1
2
•|AB|•d=
4
m2+n2
(
16
7
-
4
m2+n2
)

因?yàn)?span dealflag="1" mathtag="math" >d<
4
7
7
,所以m2+n2
7
4
,所以
16
7
-
4
m2+n2
>0

所以S△OAB=
4
m2+n2
(
16
7
-
4
m2+n2
)
(
4
m2+n2
+
16
7
-
4
m2+n2
2
)2=
8
7

當(dāng)且僅當(dāng)
4
m2+n2
=
16
7
-
4
m2+n2
,即m2+n2=
7
2
7
4
時(shí),S△OAB取得最大值
8
7

m2+n2=
7
2
m2=4-
4
3
n2
,解得
m2=2
n2=
3
2

所以
m=
2
n=
6
2
m=
2
n=-
6
2
m=-
2
n=
6
2
m=-
2
n=-
6
2

所以存在點(diǎn)M滿足題意,點(diǎn)M的坐標(biāo)為
(
2
,
6
2
),(
2
,-
6
2
),(-
2
,
6
2
)
(-
2
,-
6
2
)

此時(shí)△OAB的面積為
8
7
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知圓心在直線y=x+4上,半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10.
(1)求圓C的方程;
(2)若F為橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在圓C上,且滿足PF=4,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

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3
5
,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
,則sin(α+β)的值是
16
65
16
65

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1
的離心率為
1
2
,則m的值為
4
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•泰州三模)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(0,1),B(0,-1),C(t,0),D(
3t
,0)
,其中t≠0.設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為P,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程(以t為參數(shù))及普通方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•東莞一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),且橢圓C的離心率e=
1
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1,A2,Q是橢圓C上異于A1,A2的任一點(diǎn),直線QA1,QA2分別交x軸于點(diǎn)S,T,證明:|OS|•|OT|為定值,并求出該定值;
(3)在橢圓C上,是否存在點(diǎn)M(m,n),使得直線l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積;若不存在,請說明理由.

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