(2010•龍巖二模)已知a為實(shí)數(shù),x=1是函數(shù)f(x)=
1
2
x2-6x+alnx
的一個(gè)極值點(diǎn).
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2m-1,m+1)上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)g(x)=x+
1
x
,對(duì)于任意x≠0和x1,x2∈[1,5],有不等式|λg(x)|-5ln5≥|f(x1)-f(x2)|恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
分析:(I)利用1處的導(dǎo)數(shù)值為0就可求的a的值;
(Ⅱ)利用導(dǎo)數(shù)小于0求出函數(shù)的遞減區(qū)間,然后讓區(qū)間(2m-1,m+1)是求出減區(qū)間子區(qū)間就可求出參數(shù)m的取值范圍,還要注意:2m-1<m+1;
(Ⅲ)先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值,極大值和極小值之差就是|f(x1)-f(x2)|的最大值,然后讓|λg(x)|-5ln5大于等于這個(gè)最大值,再用基本不等式求出|λg(x)|
的最小值,便可求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
解答:解:f′(x)=x-6+
a
x

(I)f′(1)=0⇒1-6+a=0⇒a=5
(Ⅱ)首先x>0,由(I)得f′(x)=x-6+
5
x
=
x2-6x+5
x
=
(x-1)(x-5)
x

令f′(x)<0,得:1<x<5即f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,5)
∵f(x)在區(qū)間(2m-1,m-1)上單調(diào)遞減
∴(2m-1,m-1)⊆(1,5)⇒
2m-1<m-1
2m-1≥1
m-1≤5
⇒1≤m<2
(Ⅲ)由(I),f(x)=
1
2
x2-6x+5lnx
,列表如下:

f(x)極大值=f(1)=-
11
12
,f(x)極小值=f(5)=-
35
2
+5ln5

|f(x1)-f(x2)|≤-
11
2
-(-
35
2
+5ln5)=12-5ln5

∴|λg(x)|-5ln5≥|f(x1)-f(x2)|恒成立?∴|λg(x)|≥12恒成立
|g(x)|=|x+
1
x
|=|x|+|
1
x
|≥2
當(dāng)且僅當(dāng)x=±1取等號(hào)
|λg(x)|min=|2λ|≥12⇒|λ|≥6⇒λ≤-6或λ≥6
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間及極值的方法,還涉及到恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題的一般數(shù)學(xué)思想,在第2問很容易忽略區(qū)間的左端點(diǎn)要小于右端點(diǎn)這一條件,所以本題也屬于易錯(cuò)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•龍巖二模)已知函數(shù)f(x)=xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,
2
2
)
,則f(4)的值等于(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•龍巖二模)已知f(x)、g(x)都是定義在R上的函數(shù),f'(x)g(x)+f(x)g'(x)<0,f(x)g(x)=ax,f(1)g(1)+f(-1)g(-1)=
5
2
.在區(qū)間[-3,0]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,f(x)g(x)的值介于4到8之間的概率是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•龍巖二模)雙曲線
x2
8
-
y2
4
=1
的離心率為
6
2
6
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•龍巖二模)已知數(shù)列{an}滿足an=an+1+4,a18+a20=12,等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為2,公比為q.
(Ⅰ)若q=3,問b3等于數(shù)列{an}中的第幾項(xiàng)?
(Ⅱ)數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別記為Sn和Tn,Sn的最大值為M,當(dāng)q=2時(shí),試比較M與T9的大。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案