Question

1．已知O為直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，P，Q的坐標(biāo)滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}4x+3y-25≤0\\ x-2y+2≤0\\ x-1≥0\end{array}\right.$，則cos∠POQ的最小值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 0

Answer 1

分析 先畫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}4x+3y-25≤0\\ x-2y+2≤0\\ x-1≥0\end{array}\right.$，對應(yīng)的平面區(qū)域，利用余弦函數(shù)在[0，$\frac{π}{2}$]上是減函數(shù)，再找到∠POQ最大時(shí)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，就可求出cos∠POQ的最小值．

解答 解：滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}4x+3y-25≤0\\ x-2y+2≤0\\ x-1≥0\end{array}\right.$，的平面區(qū)域如下圖示：
因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在[0，$\frac{π}{2}$]上是減函數(shù)，所以角最大時(shí)對應(yīng)的余弦值最小，
由圖得，當(dāng)P與A（1，7）重合，Q與B（4，3）重合時(shí)，∠POQ最大．
此時(shí)k_OB=$\frac{3}{4}$，k_0A=7．由tan∠POQ=$\frac{7-\frac{3}{4}}{1+7×\frac{3}{4}}$=1⇒∠POQ=$\frac{π}{4}$⇒cos∠POQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題屬于線性規(guī)劃中的延伸題，對于可行域不要求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，而是求可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)（0，0）圍成的角的問題．