Question

20．設(shè)x，y是正數(shù)，且x，a₁，a₂，y成等差數(shù)列，x，b₁，b₂，y成等比數(shù)列，則$\frac{_{1}_{2}}{（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}}$的最大值是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 x，y是正數(shù)，且x，a₁，a₂，y成等差數(shù)列，x，b₁，b₂，y成等比數(shù)列，可得a₁+a₂=x+y，b₁•b₂=xy．可得$\frac{_{1}_{2}}{（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}}$=$\frac{xy}{（x+y）^{2}}$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵x，y是正數(shù)，且x，a₁，a₂，y成等差數(shù)列，x，b₁，b₂，y成等比數(shù)列，
∴a₁+a₂=x+y，b₁•b₂=xy．
則$\frac{_{1}_{2}}{（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}}$=$\frac{xy}{（x+y）^{2}}$$≤\frac{xy}{4xy}$=$\frac{1}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)．
則$\frac{_{1}_{2}}{（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}}$的最大值是$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．