Question

已知函數(shù)f(x)=

x

x+1

，數(shù)列{a_n}滿足：a_n＞0，a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；（Ⅱ）若bn=

2

an

+1，對任意正整數(shù)n，不等式

kn+1

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )(1+ 1 b3 )…(1+ 1 bn )

-

kn

2+bn

≤0恒成立，求正數(shù)k的取值范圍．
（Ⅲ）求證：

a

2 1

+

a

2 2

+

a

2 3

+…+

a

2 n

＜

33

20

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)a_n+1=f（a_n）得an+1=

an

an+1

?

1

an+1

-

1

an

=1，則數(shù)列{

1

an

}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，可求數(shù)列{

1

an

}是的通項，從而求出所求；
（Ⅱ）根據(jù)bn=

2

an

+1⇒bn=2n+1，將k分離出來得k≤

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)…(1+

1

bn

)，記g(n)=

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)…(1+

1

bn

)，根據(jù)

g(n+1)

g(n)

＞1得到g（n）在n∈N^*上遞增，可求出正數(shù)k的取值范圍．
（Ⅲ）根據(jù)

1

n2

＜

1

n2- 1 4

=

1

(n- 1 2 )(n+ 1 2 )

=

1

n- 1 2

-

1

n+ 1 2

，代入可得結論．

解答：（Ⅰ）解：由題意a_n+1=f（a_n）?an+1=

an

an+1

?

1

an+1

-

1

an

=1，
∴數(shù)列{

1

an

}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．           …（2分）
∴

1

an

=n，即an=

1

n

．                                 …（4分）
（Ⅱ）證明：由bn=

2

an

+1⇒bn=2n+1，

kn+1

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )(1+ 1 b3 )…(1+ 1 bn )

-

kn

2+bn

≤0
即k≤

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)…(1+

1

bn

)…（6分）
記g(n)=

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)…(1+

1

bn

)g(n+1)=

1

2n+5

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)…(1+

1

bn

)(1+

1

bn+1

)
則

g(n+1)

g(n)

=

2n+3

2n+5

(1+

1

bn+1

)=

2n+3

2n+5

•

2n+4

2n+3

=

2n+4

2n+5 • 2n+3

=

4n2+16n+16

4n2+16n+15

＞1，
∴g（n+1）＞g（n），即g（n）在n∈N^*上遞增，
g(n)min=g(1)=

4 5

15

，∴k∈(0，

4 5

15

]．…（8分）
（Ⅲ）證明：∵

1

n2

＜

1

n2- 1 4

=

1

(n- 1 2 )(n+ 1 2 )

=

1

n- 1 2

-

1

n+ 1 2

∴

a

2 1

+

a

2 2

+

a

2 3

+…+

a

2 n

＜1+

1

4

+

1

3- 1 2

-

1

3+ 1 2

+

1

4- 1 2

-

1

4+ 1 2

+…+

1

n- 1 2

-

1

n+ 1 2

=1+

1

4

+

2

5

-

2

2n+1

＜

33

20

．            …（12分）

點評：本題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合，以及等差數(shù)列的判定和數(shù)列的函數(shù)特性，同時考查了計算能力和轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于難題．