已知拋物線C：y2=8x，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若
OA
•
OB
=0，則點(diǎn)O到直線l的最大距離為（　�。�
分析：對(duì)直線OA的斜率分類討論：①設(shè)直線OA的方程為y=kx（k＞0，k≠1），利用
OA
•
OB
=0，可得直線OB的方程為y=-
1
k
x．聯(lián)立
y=kx
y2=8x
，解得點(diǎn)A的坐標(biāo)．同理可得B點(diǎn)的坐標(biāo)．可得直線AB即l的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)O到直線l的距離d，再利用基本不等式可得．
②當(dāng)直線OA的斜率為1時(shí)，方程為y=x，由于
OA
•
OB
=0，可得直線OB的方程為y=-x．聯(lián)立
y=x
y2=8x
，解得A，同理可得B．由于此時(shí)直線l⊥x軸，即可得到點(diǎn)O到直線l的距離d．比較①②即可得出．
解答：解：①設(shè)直線OA的方程為y=kx（k＞0，k≠1），∵
OA
•
OB
=0，∴直線OB的方程為y=-
1
k
x．
聯(lián)立
y=kx
y2=8x
，解得
x=0
y=0
，或
x=
8
k2
y=
8
k
，∴A(
8
k2
，
8
k
)．
同理可得：B（8k2，-8k）．
∴kAB=
8
k
+8k
8
k2
-8k2
=
k
1-k2
，
∴直線AB即l的方程為y+8k=
k
1-k2
(x-8k2)，化為kx+（k2-1）y-8k=0．
∴點(diǎn)O到直線l的距離d=
8k
k2+(k2-1)2
=
8
k2+
1
k2
-1
＜
8
2-1
=8．
②當(dāng)直線OA的斜率為1時(shí)，方程為y=x，∵
OA
•
OB
=0，∴直線OB的方程為y=-x．
聯(lián)立
y=x
y2=8x
，解得
x=0
y=0
，或
x=8
y=8
，∴A（8，8）．
同理可得B（8，-8）．
此時(shí)直線l⊥x軸，∴點(diǎn)O到直線l的距離d=8．
綜上①②可知：點(diǎn)O到直線l的最大距離為8．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與拋物線相交問題、直線相互垂直的斜率之間的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4且位于x軸上方的點(diǎn)． A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過M作MN⊥FA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（Ⅲ）以M為圓心，4為半徑作圓M，點(diǎn)P（m，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試討論直線AP與圓M的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=2px（p＞0），F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，A為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，過A作拋物線準(zhǔn)線l的垂線，垂足為Q．
（1）若點(diǎn)P（0，4）與點(diǎn)F的連線恰好過點(diǎn)A，且∠PQF=90°，求拋物線方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M（m，0）在x軸上，若要使∠MAF總為銳角，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=2Px（p＞0）上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+b（k≠0）與拋物線C交于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=a（a＞0），求證：a2=
16(1-kb)k2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=4x，點(diǎn)M（m，0）在x軸的正半軸上，過M的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）若m=1，且直線l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；
（II）問是否存在定點(diǎn)M，不論直線l繞點(diǎn)M如何轉(zhuǎn)動(dòng)，使得
1
|AM|2
+
1
|BM|2
恒為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=8x與點(diǎn)M（-2，2），過C的焦點(diǎn)，且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若
MA
•
MB
=0，則k=（　�。�

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