Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，首項(xiàng)a₁=1，公比q=f(λ)=

λ

1+λ

(λ≠-1，0)．
（1）證明：s_n=（1+λ）-λa_n；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b1=

1

2

，b_n=f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若λ=1，記cn=an(

1

bn

-1)，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證；當(dāng)n≥2時(shí)，2≤T_n＜4．

Answer 1

分析：（1）利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可證明；
（2）利用已知b_n=f（b_n-1）=

bn-1

1+bn-1

，（n∈N^*，n≥2），可得

1

bn

=

1

bn-1

+1，即

1

bn

-

1

bn-1

=1，再利用等差數(shù)列即可得出；
（3）利用（1）（2）可得c_n，再利用“錯(cuò)位相減法”即可得出T_n，再利用單調(diào)性即可證明．

解答：（ 1）證明：由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得：Sn=

a1-anq

1-q

═

1-an• λ 1+λ

1- λ 1+λ

=1+λ-λa_n
  （2）解：∵b_n=f（b_n-1）=

bn-1

1+bn-1

，（n∈N^*，n≥2），
∴

1

bn

=

1

bn-1

+1，即

1

bn

-

1

bn-1

=1，
∴數(shù)列{

1

bn

}是以

1

b1

=2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴

1

bn

=2+(n-1)×1=n+1，
∴bn=

1

n+1

．
  （3）證明：由（1）（2）可知：λ=1時(shí)，cn=n•(

1

2

)n-1．
∴T_n=1+2×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+n×(

1

2

)n-1，

1

2

Tn=

1

2

+2×(

1

2

)2+…+(n-1)•(

1

2

)n-1+n•(

1

2

)n，
∴

1

2

Tn=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n•(

1

2

)n，
T_n=4-

2+n

2n-1

，
∵f(n)=

2+n

2n-1

＞0，∴

f(n+1)

f(n)

=

3+n

4+2n

＜1，∴f（n）單調(diào)遞減．
∴n≥2時(shí)，f（n）≤f（2）=2，
∴Tn≥4-2=2．
∵f（n）＞0，∴T_n＜4．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，2≤T_n＜4．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“錯(cuò)位相減法”、函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵．