已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=pn+q（p≠0且p≠1），求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件為q=-1．
證明：充分性：當(dāng)q=-1時，a1=S1=p+q=p-1．
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=pn-1（p-1）．
當(dāng)n=1時也成立．
于是
an+1
an
=
pn(p-1)
pn-1(p-1)
=p（n∈N+），
即數(shù)列{an}為等比數(shù)列．
必要性：當(dāng)n=1時，a1=S1=p+q．
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=pn-1（p-1）．
∵p≠0，p≠1．
∴
an+1
an
=
pn(p-1)
pn-1(p-1)
=p．
∵{an}為等比數(shù)列，
∴
a2
a1
=
an+1
an
=p，
p(p-1)
p+q
=p，
即p-1=p+q．∴q=-1．
綜上所述，q=-1是數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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數(shù)列{an}，通項公式為an=n2+an，若此數(shù)列為遞增數(shù)列，則a的取值范圍是（　�。�
A．a(chǎn)≥-2B．a(chǎn)＞-3C．a(chǎn)≤-2D．a(chǎn)＜0

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1
2
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（I）若組織者在此次比賽中獲得的門票收入恰好為300萬元，問此次決賽共比賽了多少場？
（Ⅱ）求組織者在此次決賽中要獲得的門票收入不少于390萬元的概率為多少？

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在數(shù)列{an}中，已知前n項和Sn=7n2-8n，則a100的值為（　�。�
A．1920B．1400C．1415D．1385

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

正項等比數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，若S3=3，S9=39，則S6為（　�。�
A．21B．18C．15D．12

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知等比數(shù)列{an}滿足a1+a4=18，a2a3=32，且公比q＞1．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）求該數(shù)列的前5項和S5．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，8a2+a5=0，則
S5
S2
=（　�。�
A．-11B．-8C．5D．11

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，它的各項都是正數(shù)，且3a1，
1
2
a3，2a2成等差數(shù)列，則
S11-S9
S7-S5
=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

若數(shù)列{an}是正項數(shù)列，且＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N*)，則＋＋…＋＝________.

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同步練習(xí)冊答案