函數(shù)y=ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的圖象向下平移b(0<b,b≠1)個(gè)單位后得到的圖象記為Cb,Cb與x軸交于Ab點(diǎn),與y軸交于Bb點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)
(1)寫(xiě)出Cb的解析式和Ab,Bb兩點(diǎn)的坐標(biāo)
(2)判斷線段OAb,OBb長(zhǎng)度大小,并證明你的結(jié)論
(3)是否存在兩個(gè)互不相等且都不等于1的正實(shí)數(shù)m,n,使得Rt△OAmBm與Rt△OAnBn相似,如果相似,能否全等?證明你的結(jié)論.
分析:(1)直接利用圖象的平移規(guī)律即可求Cb的解析式,再令y=0以及x=0即可求出Ab,Bb兩點(diǎn)的坐標(biāo)
(2)先求出線段OAb,OBb長(zhǎng)的表達(dá)式,分b的取值并借助于函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較其長(zhǎng)度大小即可.
(3)先對(duì)兩個(gè)三角形所在象限分情況討論,根據(jù)相似得到的結(jié)論求出正實(shí)數(shù)m,n的范圍,看是否符合要求即可.
解答:解:(1)由題得y=ex-b,
令y=0,Ab(lnb,0);
令x=0,Bb(0,1-b).
(2)OAb=|lnb|,OBb=|1-b|.
①當(dāng)0<b<1時(shí),OAb=-lnb,OBb=1-b.
設(shè)函數(shù)f(x)-lnx-x-1 (0<x<1),
f'(x)=
1
x
-1>0,
∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,
∴f(x)<f(1)=0,
∴-lnx>-x+1
∴OAb>OBb
②當(dāng)b>1時(shí),同理可得OAb>OBb,
(3)①當(dāng)三角形同在第二象限時(shí),0<m<1,0<n<1時(shí),OAb>OBb
若Rt△OAmBm與Rt△OAnBn相似,只有
1-m
-lnm
=
1-n
-lnn
?
1-m
lnm
=
1-n
lnn
,
設(shè)函數(shù)g(x)=
1-x
lnx
(0<x<1),
g'(x)=
-lnx-
1
x
+1
ln 2x
=
x-xlnx-1
xln 2x
(0<x<1),
設(shè)函數(shù)h(x)=x-lnx-1,h'(x)=-lnx>0在(0,1)上恒成立,
∴h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,∴h(x)<h(1)=0在(0,1)上恒成立,
∴g'(x)<0在(0,1)上恒成立,g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)0<m<1,0<n<1時(shí),不存在.當(dāng)三角形同在第四象限時(shí),m>1,n>1,同理可得m,n不存在.
③當(dāng)三角形在不同象限時(shí),不妨設(shè)0<m<1,n>1時(shí),若Rt△OAmBm與Rt△OAnBn相似,
則OAm>OBm,OAn<OBn,則有
lnm
m-1
=
n-1
lnn
,
設(shè)M={f1m|f1m=
lnm
m-1
(0<m<1)},N={f2(n)|f2(n)=
n-1
lnn
(n>1)},
有g(shù)(x)性質(zhì)可得:取m∈(
1
e3
,
1
e
),f1(m)=
lnm
m-1
在(
1
e3
1
e
)上單調(diào)遞增,
∴f1(m)∈[
e
e-1
3e3
e3-1
],2∈[
e
e-1
,
3e3
e3-1
]
取n∈[e,e2],f2(n)=
n-1
lnn
在[e,e2]遞增,
f2(n)∈[e-1,
e2-1
2
],2∈[e-1,
e2-1
2
].
可得M∩N≠φ,因此存在0<m<1,n>1,使得Rt△OAmBm與Rt△OAnBn相似.
如果全等,則有.
OA m=OB n
OB m=OA n
?
-lnm=n-1
1-m=lnn
?
lnm=1-n
lnn=1-m

由lnm=1-n?m=e1-n,代入lnn=1-m,
lnn=1-e1-n?enlnn=en-e.
設(shè)函數(shù)F(x)=exlnx-ex+e (x>1),
F'(x)=exlnx+
ex
x
-ex
=
ex
x
(xlnx-x+1).
設(shè)函數(shù)H(x)=xlnx-x+1   ( x>1),
H'(x)=lnx+1-1=lnx>0,
所以H(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,∴H(x)>H(1)=0.
所以F'(x)>0在(1,+∞)上恒成立,F(xiàn)(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增
∴F(x)>F(1)=0.
因此不存在n>1,使得enlnn=en-e.
所以不存在兩個(gè)互不相等且都不等于1的正實(shí)數(shù)m,n,使得Rt△OAmBm與Rt△OAnBn全等.
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖象的變換和三角形相似及全等對(duì)應(yīng)的結(jié)論,是對(duì)知識(shí)的綜合考查,屬于難題.
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