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設函數f（x）=x（x-1）2．
（1）求f（x）在區(qū)間[數學公式，2]上的最大值和最小值；
（2）當a≥0時，討論方程數學公式+x-數學公式-alnx=0的解的個數，并說明理由．

解：（1）f′（x）=3x2-4x+1，∵f′（x）＞0?x＞1或x＜，∴f（x）在[，1]上遞減，在（1，2]上遞增，
∴f（x）min=f（1）=0，又f（）=，f（2）=2，
∴f（x）max=f（2）=2．
（2）?，令g（x）=，
則g′（x）=，
①當a=0時，g（x）=，則g（x）=0在（0，+∞）上無解；
②當a＞0時，則g（x）在（0，）上遞減，在（，+∞）上遞增，
∴=-，
又∵當x→0時，g（x）→+∞；當x→+∞時，g（x）→+∞，∴
（ⅰ）當＞0即0＜a＜e時，g（x）=0在（0，+∞）上無解；
（ⅱ）當=0即a=e時，g（x）=0在（0，+∞）上有一解；
（ⅲ）當＜0即a＞e時，g（x）=0在（0，+∞）上有兩解；
綜上：當a＞e時，g（x）=0在（0，+∞）上有兩解；當a=e時，g（x）=0在（0，+∞）上有一解；
當0≤a＜e時，g（x）=0在（0，+∞）上無解．
分析：（1）求出函數在區(qū)間端點處的函數值，然后用導數求出極值，比較它們的大小，其中最大者為最大值，最小者為最小值；
（2）恰當構造函數，轉化為函數零點問題，利用導數研究該函數的單調性及其最值，結合圖象即可得到答案．
點評：本題考查利用導數研究函數最值、單調性問題，考查分析問題、解決問題的能力，本題中滲透了分類討論思想及函數與方程思想．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）的定義域為A，若存在非零實數t，使得對于任意x∈C（C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），則稱f（x）為C上的t低調函數．如果定義域為[0，+∞）的函數f（x）=-|x-m2|+m2，且 f（x）為[0，+∞）上的10低調函數，那么實數m的取值范圍是（　　）
A、[-5，5]
B、[-
5
，
5
]
C、[-
10
，
10
]
D、[-
5
2
，
5
2
]

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）是定義在R上的偶函數，且f（x+2）=f（x）恒成立；當x∈[0，1]時，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當x∈[-1，0]時f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標由小到大構成一個無窮等差數列；
④關于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
其中真命題的個數為（　�。�

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科目：高中數學 來源：徐州模擬 題型：解答題

設函數f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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