Question

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，求；

（3）設(shè)，證明：.

 

Answer 1

(1) (2) （3）見解析

【解析】

試題分析：

(1)當(dāng)帶入式子結(jié)合即可得到的值,當(dāng)時(shí),利用與的關(guān)系()即可得到是一個(gè)常數(shù),即可得到數(shù)列為等差數(shù)列,但是需要驗(yàn)證是否符合,進(jìn)而證明為等差數(shù)列,即可求的通項(xiàng)公式.

(2)把(1)中得到的的通項(xiàng)公式帶入可得,即為等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積,故需要利用錯(cuò)位相減法來求的前n項(xiàng)和.

(3)把(1)得到的帶入,觀察的通項(xiàng)公式為分式,為求其前n項(xiàng)和可以考慮利用裂項(xiàng)求和法.進(jìn)行裂項(xiàng),在進(jìn)行求和就可以得到的前n項(xiàng)和為,利用非負(fù)即可證明原不等式.

試題解析：

（1）由題意，當(dāng)時(shí)，有， （1分）

兩式相減得 即. （2分）

由，得.

所以對(duì)一切正整數(shù)n，有， （3分）

故，即. （4分）

（2）由（1），得，

所以 ① （5分）

①兩邊同乘以，得 ② （6分）

①-②，得， （7分）

所以， （8分）

故. （9分）

（3）由（1），得 （12分）

（13分）

. （14分）

考點(diǎn)：裂項(xiàng)求和 錯(cuò)位相減 不等式