Question

已知

a

=（

3

sinx，sinx），

b

=（sinx，cosx），設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

，x∈[

π

2

，π]
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用向量的數(shù)量積求出函數(shù)的表達(dá)式，利用函數(shù)為0，即可求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（Ⅱ）通過二倍角的余弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達(dá)式為一個角的一個三角函數(shù)的形式，結(jié)合x的范圍，求出相位的范圍，然后求出函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

解答：（Ⅰ）解：由題意：函數(shù)f（x）=

a

•

b

=

3

sin²x+sinxcosx，x∈[

π

2

，π]．…（1分）
令f（x）=0，得 

3

sin²x+sinxcosx=0，
所以sinx=0，或tanx=-

3

3

．…（2分）
由sinx=0，x∈[

π

2

，π]，得x=π．
由tanx=-

3

3

，x∈[

π

2

，π]，得x=

5π

6

．
綜上，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為

5π

6

或π．                   …（6分）
（Ⅱ）解：函數(shù)f（x）=

3

sin²x+sinxcosx=

3

2

（1-cos2x）+

1

2

sin2x=sin（2x-

π

3

）+

3

2

   …（8分）
因?yàn)閤∈[

π

2

，π]，所以2x-

π

3

∈[

2π

3

，

5π

3

]
當(dāng)2x-

π

3

=

2π

3

，即x=

π

2

時，f（x）的最大值為

3

；    …（12分）
當(dāng)2x-

π

3

=

3π

2

，即x=

11π

12

時，f（x）的最小值為-1+

3

2

．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式和輔助角公式，求出函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．