Question

已知函數(shù)f（x-1）=lg

x

2-x

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并判斷f（x）的奇偶性；
（2）解關于x的不等式：f（x）≥lg（3x+1）．

Answer 1

考點：指、對數(shù)不等式的解法,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調性的性質

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）換元法易得f（x）=lg

x+1

1-x

 （-1＜x＜1），再由奇偶性的判定可得；
（2）原不等式可化為x（x-1）（3x-1）≤0且x≠1，解之可得．

解答： 解：（1）令t=x-1，則x=t+1
代入已知式子可得f(t)=lg

t+1

2-(t+1)

=lg

t+1

1-t

，
∴f（x）=lg

x+1

1-x

 （-1＜x＜1）
∵f（x）的定義域關于原點對稱，
且f(-x)=lg

1-x

1+x

=lg(

1+x

1-x

)-1=-lg(

1+x

1-x

)=-f(x)
∴f（x）是奇函數(shù)
（2）原不等式可化為lg

x+1

1-x

≥lg(3x+1)?

x+1

1-x

≥3x+1＞0，
由3x+1＞0得x＞-

1

3

，由

x+1

1-x

≥3x+1可得

x+1

1-x

-(3x+1)≥0，
即

x+1-(3x+1)(1-x)

1-x

≥0，即

3x2-x

1-x

≥0，

3x2-x

x-1

≤0，
即

x(3x-1)

x-1

≤0?x(x-1)(3x-1)≤0且x≠1，
解得：x≤0或

1

3

≤x＜1，又x＞-

1

3

，
∴原不等式的解集為(-

1

3

，0]∪[

1

3

，1)

點評：本題考查對數(shù)不等式的解法，涉及函數(shù)的奇偶性，屬中檔題．