設(shè)
(1)當(dāng)λ1=1,λ2=0時(shí),設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn),
①如果x1<1<x2<2,求證:f'(-1)>3;
②如果a≥2,且x2-x1=2且x∈(x1,x2)時(shí),函數(shù)g(x)=f'(x)+2(x-x2)的最小值為h(a),求h(a)的最大值.
(2)當(dāng)λ1=0,λ2=1時(shí),
①求函數(shù)y=f(x)-3(ln3+1)x的最小值.
②對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a,b,c,當(dāng)a+b+c=3時(shí),求證3aa+3bb+3cc≥9.
【答案】分析:(1)①當(dāng)λ1=1,λ2=0時(shí),由x1,x2是方程f'(x)=0的兩個(gè)根,且x1<1<x2<2且a>0得.由f′(-1)=a-b+2結(jié)合a,b范圍得證.②由①設(shè)f'(x)=a(x-x1)(x-x2),得,
用基本不等式得求得最值.
(2)①由λ1=0,λ2=1,f(x)=3xx,可得y=3xx-3(ln3+1)x.y'=3x(ln3)•x+3x-3(ln3+1),易知y'是單調(diào)增函數(shù),
且x=1是它的一個(gè)零點(diǎn),當(dāng)x=1時(shí),求得最小值.②由①知3xx≥3(ln3+1)x-3ln3,當(dāng)x分別取a、b、c時(shí)有:得到三個(gè)不等式,再由不等式的基本性質(zhì)得證.
解答:解:(Ⅰ)①證明:當(dāng)λ1=1,λ2=0時(shí),f'(x)=ax2+(b-1)x+1,x1,x2是方程f'(x)=0的兩個(gè)根,
由x1<1<x2<2且a>0得,

所以f′(-1)=a-b+2=-3(a+b)+(4a+2b-1)+3>3.(3分)
②設(shè)f'(x)=a(x-x1)(x-x2),
所以,
易知x2-x>0,,
所以
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),
時(shí)取等號(hào)
所以(a≥2).
易知當(dāng)a=2時(shí),h(a)有最大值,
.(5分)

(Ⅱ)①當(dāng)λ1=0,λ2=1時(shí),f(x)=3xx,
所以y=3xx-3(ln3+1)x.y'=3x(ln3)•x+3x-3(ln3+1),容易知道y'是單調(diào)增函數(shù),
且x=1是它的一個(gè)零點(diǎn),即也是唯一的零點(diǎn).
當(dāng)x>1時(shí),y'>0;當(dāng)x<1時(shí),y'<0,
故當(dāng)x=1時(shí),
函數(shù)y=f(x)-3(ln3+1)x有最小值為-3ln3.(4分)
②由①知3xx≥3(ln3+1)x-3ln3,
當(dāng)x分別取a、b、c時(shí)有:3aa≥3(ln3+1)a-3ln3;3bb≥3(ln3+1)b-3ln3;3cc≥3(ln3+1)c-3ln3
三式相加即得.(3分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)與不等式轉(zhuǎn)化與構(gòu)造以及導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值問題.
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ax
,g(x)=f(x)+ax-6lnx,其中a∈R
(1)當(dāng)a=1時(shí),判斷f(x)的單調(diào)性;
(2)若g(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求正實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)h(x)=x2-mx+4,當(dāng)a=2時(shí),若?x1∈(0,1),?x2∈[1,2],總有g(shù)(x1)≥h(x2)成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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5
5
,Sn=
(n-1)2n+1
(n-1)2n+1

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(2)當(dāng)λ1=0,λ2=1時(shí),
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②對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a,b,c,當(dāng)a+b+c=3時(shí),求證3aa+3bb+3cc≥9.

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