Question

對于函數(shù)，若在定義域內存在實數(shù)，滿足，則稱為“局部奇函數(shù)”．

（Ⅰ）已知二次函數(shù)，試判斷是否為“局部奇函數(shù)”？并說明理由；

（Ⅱ）若是定義在區(qū)間上的“局部奇函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若為定義域上的“局部奇函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）是，理由詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）判斷方程是否有解；（Ⅱ）在方程有解時，通過分離參數(shù)求取值范圍；（Ⅲ）在不便于分離參數(shù)時，通二次函數(shù)的圖象判斷一元二次方程根的分布.

試題解析：為“局部奇函數(shù)”等價于關于的方程有解．

（Ⅰ）當時，

方程即有解，

所以為“局部奇函數(shù)”．                                            3分

（Ⅱ）當時，可化為，

因為的定義域為，所以方程在上有解．     5分

令，則．

設，則，

當時，，故在上為減函數(shù)，

當時，，故在上為增函數(shù)，．               7分

所以時，．

所以，即．                                  9分

（Ⅲ）當時，可化為

．

設，則，

從而在有解即可保證為“局部奇函數(shù)”．    11分

令，

1° 當，在有解，

由，即，解得；         13分

2° 當時，在有解等價于

解得．                  15分

（說明：也可轉化為大根大于等于2求解）

綜上，所求實數(shù)m的取值范圍為．                    16分

考點：函數(shù)的值域、方程解的存在性的判定.